Question

数列{An},{Bn}满足A1＝2，B1=1,且An=3/4An-1+1/4Bn-1+1,Bn=1/4An-1+3/4Bn-1+1(n>=2)

数列{An},{Bn}满足A1＝2，B1=1,且An=3/4An-1+1/4Bn-1+1,Bn=1/4An-1+3/4Bn-1+1(n>=2)
(1)令Cn=An+Bn,求数列{An}的通项公式
（2）求数列{An}的通项公式及前n项和公式
这道题能不能用待定系数法解

Answer 1

An=3/4A[n-1]+1/4B[n-1]+1,
Bn=1/4A[n-1]+3/4B[n-1]+1 (n>=2)

An+Bn=A[n-1]+B[n-1]+2

令Cn=An+Bn,则C[n-1]=A[n-1]+B[n-1]
则Cn-C[n-1]=2
说明｛Cn｝是公差为2的等差数列
Cn=C1+(n-1)d=A1+B1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+2

An-Bn=1/2(A[n-1]-B[n-1])

令Dn=An-Bn,则D[n-1]=A[n-1]-B[n-1]
Dn/D[n-1]=1/2
说明｛Dn｝是公比为1/2的等比数列
Dn=d1(1-q^n)/(1-q)=1(1-1/2^n)/(1-1/2)=2-2/2^n

根据和差问题的公式，可计算出
An=(Cn+Dn)/2=(2n+2+2-2/2^n)/2=n+2-1/2^n
Bn=(Cn-Dn)/2=(2n+2-2+2/2^n)/2=n+1/2^n

令Sn=｛An｝数列前n项和
Sn=A1+A2+A3+...+An
=(1+2-1/2^1)+(2+2-1/2^2)+(3+2-1/2^3)+...+(n+2-1/2^n)
=(1+2+3+...+n)+2n-(1/2^1+1/2^2+1/2^3+....+1/2^n)
=n(n+1)/2+2n-1/2(1-1/2^n)/(1-1/2)
=1/2*n^2+5n/2-1+1/2^n