Question

证明:A的不变子空间的交与和还是A的不变子空间

Answer 1

若A正交，则A可逆。并且由复哈密尔顿-凯莱定理，制A的逆为其多项式。(Ax,y)=（x，A-1y）。若y在A的不变子空间中，则A-1y也在A的不变子空间中。若再x属于正交补，显然就有(Ax,y)=（x，A-1y）=0。得证。

子空间有限维就对，无限维不对，有明确的反例的。有限维只要将正交zhi变换限制在子空间上，用哈密尔顿-凯莱定理即可。

对任意a，b属于W∩U，有a,b属于du W, a,b属于U，而W，U是V的线性变换T的不变dao子空间
所以 T(k1a+k2b) = k1T(a)+k2T(b) 属于 W, 也属于 U。

所以 T(k1a+k2b)属于 W∩U，所以 W∩U 也是回T的不变子空间。 W+U 中的元素都可表示为 a+b 形式，其中a属于W, b属于U。

对W+U中任意两个元答素 a1+b1, a2+b2 有T(k1(a1+b1)+k2(a2+b1))k1T(a1+b1)+k2T(a2+b1)
= k1(T(a1)+T(b1))+k2(T(a2)+T(b1))= k1T(a1)+k2T(a2) + k1T(b1)+k2T(b2)，属于 W+U，所以 W+U也是T的不变子空间。

扩展资料：

不变子空间亦称稳定子空间，又称平凡子空间，与线性变换有关的一种子空间。设σ是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的子空间，若对W中的任意一个向量α，σ(α)也属于W，则称W是σ的不变子空间或称σ子空间。

σ的值域与核以及σ的特征子空间等都是σ的不变子空间，有限维的复线性空间的所有的线性变换都有一维不变子空间，有限维实线性空间的线性变换都有一维或二维不变子空间，特别地，奇数维的实线性空间的每一个线性变换都有一维的不变子空间。