Question

已知f(x)=｜x^2-1｜+x^2+kx

1)若k=2,求函数f(x)的零点
2）若关于x的方程f(x)=0在（0，2）上有2个不同的解x1,x2,求k的取值范围，并证明1/x1+1/x2<4
关键是那个证明

Answer 1

解题思路如下，请自己解题
第一小问： 求零点的本质就是零函数等于0，然后代入K=2，求出X的值；
第二小问：函数在（0,2）之间有2个不同的解，其本质是 f （X1) ， f（x2）同号，并且判别式>0；

追问

第二小问的解答还不够完整，并不是判别式大于0就OK的。。。方程的解一个是在（0,1]上，一个是在（1,2）上，这是在两个不同的方程里的。。。所以那个证明貌似用韦达定理很难弄。。。所以，高手，请切入正题，回答1/x1+1/x2<4

追答

可以这样考虑：
当00 记为2式

1. 诺1式有解，令 1+KX=0 X=-1/K 而00, f(2)>0 K》-1

综合上述：取并集 K》-7/2

证明我也不会了，。。。。。

追问

兄弟，你错了。。。 你的第二种情况是不成立的
“2. 1式无解， 则 K》-1
2式必有两根落在【1,2）之间，f（1）>0, f(2)>0 K》-1”，第二个方程的两个根的积为-1/2，所以不可能两根都落在【1,2）上。。。
那个“证明”，你真的不会？本人通过多方的查找，前面的都搞懂了，就是不会证明，所以，如果可以，请证下证明。。

追答

哈哈，以为自己考虑较周全了，想不到忘了两根之积了；
今天下班闲着没事，思考了一下证明题，换了个思路，想不到解出来了。
证明如下：
由前面可知，我们可以假定X1=-1/K 这样K=-1/X1
将第二个根代入 原式= 2x^2+KX-1，可得：2X2^2+KX2-1=0
将上面的K值代入 ，可得X1+X2=2X2^2X1
1/X1+1/X2= (X1+X2)/X1X2= 2X2^2X1/X1X2=2X2
由于此时X2的取值范围【1,2） 所以2X2<4

搞定！

其实这道理考察的是系统分析和变量考察，培养考生的周密思维和变与不变的哲学原理！