Question

C是圆O的直径AB延长线上一点，点D在圆O上，且角A=30°,∠BDC=二分之一∠ABD

（1）求证：CD是圆O的切线
（2）若OF∥AD分别交BD、CD于E、F，BD=2，求OE及CF长

Answer 1

1、证明：连接OD
∵AB是直径
∴∠ADB＝90
∵∠A＝30
∴∠ABD＝90-∠A＝60
∵∠BDC＝∠ABD/2
∴∠BDC＝30
∵OD＝OB
∴∠ODB＝∠ABD＝60
∴∠ODB+∠BDC＝60+30＝90
∴∠ODC＝90
∴CD是圆O的切线
2、解：
∵∠ABD＝60, ∠BDC＝30，∠ABD＝∠BDC+∠C
∴∠C＝∠ABD-∠BDC＝30
∴∠C＝∠BDC＝∠A
∴BC＝BD
∵BD＝2
∴AD＝√3×BD＝2√3
∵OA＝OB, OF∥AD
∴OE是△ABD的中位线
∴OE＝AD/2＝√3
∵OB＝OD，∠ABD＝60
∴等边△OBD
∴BD＝OB
∴OA＝OB＝BC
∵OF∥AD
∴OF/AD＝CO/AC＝2/3
∴OF＝4√3/3

追问

求的是CF的长

追答

2、解：
∵∠ABD＝60, ∠BDC＝30，∠ABD＝∠BDC+∠C
∴∠C＝∠ABD-∠BDC＝30
∴∠C＝∠BDC＝∠A
∴BC＝BD
∵BD＝2
∴AD＝√3×BD＝2√3
∵OA＝OB, OF∥AD
∴OE是△ABD的中位线
∴OE＝AD/2＝√3
∵OB＝OD，∠ABD＝60
∴等边△OBD
∴BD＝OB
∴OA＝OB＝BC
∵OF∥AD
∴OF/AD＝CO/AC＝2/3
∴OF＝4√3/3
又∵OF∥AD
∴∠FOC＝∠A
∴∠FOC＝∠C
∴CF＝OF＝4√3/3

Answer 2

（1）证明：连接OD两点（即半径）
因为∠AOB是直径所对的圆周角 所以∠AOB=90°而∠A=30°
所以BD=二分之一AB=OD=OB（此时三角形OBD是等边三角形） ，∠ABD=60°
所以∠DOB=∠DBO=∠ODB=60°
因为∠BDC=二分之一∠ABD ，所以∠BDC=30°
又因为∠ODC=∠ODB+∠BDC
所以∠DOC=60°+30°=90°
所以OD垂直于DC 即CD是圆O的切线