Question

已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x＞0时,f(x)＞1

（1）求证：函数F（x）=f（x）-1是奇函数
（2）求证：函数f（x）在R上是增函数
（3）若f(3)=1,解不等式f(a²+a-5)＜2

详细过程！！！！

Answer 1

老题目了，经常被人提起，被人做。
（1）只需要证明出-F（x）=-f（x）+1= F（-x）=f（-x）-1就行了。因为x,y∈R，所以可以令y=-x， 于是由f(x+y)=f(x)+f(y)-1可以得到f(0)=f(x)+f(-x)-1
而在f(x+y)=f(x)+f(y)-1令x=y=0就有f(0)=1 ，那么f(0)=f(x)+f(-x)-1，就有
f(x)+f(-x）=2 即 f(x)=-f(-x)+2 ，两边同时乘以-1，有-f(x)=-f(-x)-2，两边再同时加1，有-f(x)+1=f(-x)-1，这就是-F（x）=F(-x),那么证明完毕

（2）我想出一种不同于其他人的方法：证明由题设f(x+y)=f(x)+f(y)-1变形
f(x+y)-f(y)=f(x)-1，因为当x>0 时，有f(x)>1，所以f(x+y)-f(y)=f(x)-1>0也就是f(x+y)-f(y)>0（由于x，y﹥0，所以x+y>y） 即，证明出了在x>0 时，f(x)递增
再证明x<0时的情况，由于函数F（x）=f（x）-1是奇函数，所以图像是关于原点对称的，且
在x>0时候有，F（x）=f（x）-1>0，那么根据对称性知道，x<0时，F（x）=f（x）-1<0，即f(x+y)-f(y)=f(x)-1<0 即 f(x+y)-f(y)<0 (因为x、y<0，所以x+y<y) 也就是当x<0时，f(x)递增
还可以马上由x<0时，F（x）=f（x）-1<0 和 x>0时，F（x）=f（x）-1>0知道x=0时，一定有F（0）=f（0）-1=0 即f(0)=1
至此，f(x)在R上递增

（3）若将条件f(3)=1改为f(3)=2，则可以求解f(a²+a-5)＜2，也就是f(a²+a-5)＜f(3)=2 由于本函数在R上单调增加,可以去掉函数符号a²+a-5<3，解出来就是（-1-√33）/2<a<(-1+√33)/2

追问

若最后一问不改呢，那应该怎样解啊

追答

最后一问若不改就是错误的，因为f(3)=1和 题设x>0时f(x)>1，矛盾
注意： f(x)=-f(-x)+2 ，两边同时乘以-1，应该有-f(x)=f(-x)-2，我那边笔误多了一个“-”

Answer 2

（1）在f(x+y)=f(x)+f(y)-1中取x=y=0，得 f(0)=f0)+f(0)-1, 因而有 f(0)=1,
在f(x+y)=f(x)+f(y)-1中y=-x 得 f(0)=f(x)+f(-x)-1, 于是有 f(-x)-1=-f(x)+1=-[f(x)-1], 即 F(-x)=-F(x), 这就是说
F(x)是奇函数
（2）设x2>x1, 在 f(x+y)=f(x)+f(y)-1中取x=x2，y=-x1 得 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1, 由（1）可知
f(-x1)=-f(x1)+2, 因而有 f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+2-1, 于是有 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1,
由于x2>x1, 因此 x2-x1>0, 由条件知 f(x2-x1)>1, 于是有 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0, 即 f(x2)>f(x1),
这就证明了f（x）在R上是增函数
（3）是错题，与原假设当x＞0时,f(x)＞1矛盾。