Question

求x³y⁴/(x²+y)当(x，y)→(0，0)时的极限

恳请大家不要灌水，会做的解答

Answer 1

设x=rcosu,y=rsinu,(x，y)→(0，0)变为r->0,
x^3y^4/(x^2+y)
=r^7(cosu)^3(sinu)^4/[(rcosu)^2+rsinu]
=r^6(cosu)^3(sinu)^4/[r(cosu)^2+sinu]
->r^6(cosu)^3(sinu)^3
-->0.

追问

倒是可以取路径y=kx^11-x^2,这样就能推出极限与路径有关，得出极限不存在。

追答

y=kx^11-x^2，

x³y⁴/(x²+y)=(kx^11-x^2)^4x^3/(kx^11)
=(kx^9-1)^4/k
-->1/k,
所以此极限不存在。
谢谢您的指正。