Question

如图，直线y=x-b（b≠0）交坐标系于A、B两点，交双曲线y=2/x于点D，过点D坐两坐标轴的垂线DC、DE，连接OD

（1）求证：AD平分∠CDE；
（2）对任意的实数b（b≠0），求证AD·BD为定值。

Answer 1

(1)当x=0时，y=b，所以B（0，b），OB=b的兆袭唯绝对值

当y=0时，x=-b，所以A（-b，0），OA=b的绝对值

所以OB=OA，所以角OAB=45°=角DAC

因为角DCA=90°，所以角CAD=角CDA=45°，所以角EDA=角CDA=45°，（1）得证

（2）由（1），可知三角形BDE和三角形ACD均为等腰直角，利用勾股定理可得

AD=根号2倍的CD，BD=根号2倍的DE，而CD*DE=S矩形OCDE=2（反比例函数）

所以AD*BD=根号2倍的CD*根号2倍的DE=2倍的族培S矩形OCDE=4，（2）得证

（3）若存在，则必有OB=CD=b的绝对值，而因为，三角形OAB和三角形DAC为等腰直角禅罩三角形，

所以OA=OB=AC=CD=b的绝对值，所以OC=2倍的b的绝对值

所以S矩形=OC*CD=2倍的b的平方=2（反比例函数）

解得b=1或-1 而易发现当b=1时不合题意，所以b=-1

b=-1，那么直线AB的解析式是y=x-1

Answer 2

y=x+b
x=0,y=b
y=0,x=-b
所以A(-b,0),B(b,0)
OA=|-b|=|b|
OB=|b|
所以OA=OB
所以三角形OAB是等腰直角三角游告芦神带形
所以角OBA=45度

DE垂直BE
所以直角三角友蔽形BED中
角EDA=90-角OBA=45度

而DC垂直x轴，DE垂直y轴
xy轴垂直
所以DE垂直DC
所以角CDE=90度
角EDA=45度
所以AD平分角CDE

Answer 3

因为笑弯握直线y=x-b，所以斜率为1，即45度。角bde=角碰庆oab=角dac=角adc=45度！ad平分闹睁角cde！ad/cd=de/bd,得ad乘以bd=cd乘以de=2

Answer 4

(1)当x=0时，y=b，所以B（0，b），OB=b的绝对值

当y=0时，x=-b，所以A（-b，0），OA=b的绝对值

所以OB=OA，所以角OAB=45°=角蔽乎迟DAC

因为角DCA=90°，所以角CAD=角顷兆CDA=45°，所以角EDA=角CDA=45°，（1）得证

（2）由（1），可知三角形BDE和三角形ACD均为等腰直角，利用勾股定理可得

AD=根号2倍的CD，BD=根号2倍的DE，而CD*DE=S矩形宏李OCDE=2（反比例函数）

所以AD*BD=根号2倍的CD*根号2倍的DE=2倍的S矩形OCDE=4，（2）得证