Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若MN是经过点A的直线，BD⊥MN于D，EC⊥MN于E．

（1）求证：BD=AE；
（2）若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点O，其他条件都不变，BD与AE边相等吗？为什么？
(3)在（2）的情况下，若CE的延长线过AB的中点F，MN与BC的交点为G，连接FG，求证：∠AFE=∠BFG

Answer 1

解：（1）证明：由题意可知，BD⊥MN与D，EC⊥MN与E，∠BAC=90°，
则△ABD与△CEA是直角三角形，∠DAB=∠ECA，
在△ABD与△CEA中，
∠ADB=∠CEA
∠DAB=∠ECA
AB=AC

∴△ABD≌△CEA，
∴BD=AE；

（2）若将MN绕点A旋转，与BC相交于点O，
则BD，CE与MN垂直，
∴△ABD与△CEA仍是直角三角形，两个三角形仍全等，
∴BD与AE边仍相等；

（3）∵△ABD≌△CEA，
∴BD=AE，AD=EC，
∴DE=BD+EC或DE=CE-BD或DE=BD-CE．