Question

百度史上最难数学题！

若平面上有限点不全共线，则不可能过任意两点的直线都过第三点。

这个在数学界有名字的，叫sylvester问题,有一个叫S.Kelly的人给予证明。但我在网上搜不到，哪位高手能找到也告诉我，高分悬赏！
加油帮忙啊！

Answer 1

用反证法。假设这n个点不在同一直线上，那么过其中任意两点的直线外，均有已知点，它们到这条直线的距离都是正数。因为n是一个有限的数，所以这种距离最多只能有有限个。设A、B、C、D是其中的4个点，B、C、D在同一条直线上，而且A到这条直线的距离h是上面我们提到的距离中最小的.

不妨设D在B、C之间，D到AB、AC的距离分别为h1、h2，那么由h的最小性，有h1AB+h2AC＞=h(AB+AC)＞hBC。由于这个不等式两端均表示△ABC的面积，因而矛盾。所以假设不对，这n个点只能在同一直线上

Answer 2

楼主看来在数学竞赛方面研究得很深啊,有时间咱俩交流交流.
想必楼主知道判定三线共点的著名的ceva定理.
用正弦定理稍加变换就可以得到它的三角形式——角元ceva定理:
ad,be,cf三线共点等价于sin(bad)*sin(acf)*sin(cbe)=sin(cad)*sin(bcf)*sin(eba)
由此启发,得以下证法:
在三角形bad中,由正弦定理:sin(bad):bd=sin(dba):da
在三角形cad中,由正弦定理:cd:sin(dac)=ad:sin(dca)
两式相乘,可以得到:sin(bad):sin(dac)=[sin(dba)*cd]:[sin(dca)*cd}
设三角形内接圆半径为r,所作圆的半径为r.
所以sin(dba)*cd=d到ab边的距离=r+r*cosb
sin(dca)*cd=d到ac边的距离=r+r*cosc
这两步都省略了很容易的角的计算.
所以sin(bad):sin(dac)=(r+r*cosb):(r+r*cosc)
再同理写出另外两个式子
三式相乘,利用前面介绍过的角元ceva定理就证明了结论.
证明毕.

Answer 3

证明BX=p-b并不难，具体过程如下，但AX1=BX不会证，另外L的出现有什么意义？很奇怪哦。我觉得楼上说简单的都是在说大话，不会就承认嘛，会的话就给个解答出来。
设I在AC上的投影为Z，由内心性质知，内心是角平分线的交点，易证BX=BY,CZ=CY,AX=AZ
所以a+b+c=AB+BC+CA=AX+XB+BY+YC+CZ+ZA=2(CZ+ZA+BX)=2(b+BX)
所以BX＝（a+b+c)/2-b=p-b

Answer 4

http://www.aoshoo.com/bbs1/post.asp?action=re&BoardID=65&replyID=49167&ID=2232&star=1

Answer 5

都没有提问题