Question

关于高数的两个问题。1，向量积的方向为什么是垂直两个向量？2，平面束方程的几何意义?

1，向量积的方向为什么是垂直两个向量，有几何意义解释最好，就算是认为规定我认为也有这样规定的道理，所以不要跟我说认为规定的。2,两个平面方程组可以表示通过这两个平面的交线，那么为什么其中一个加个参数，再把两个方程相加就可以表示平面束了呢？有几何解释更好。比如，设已知两平面：A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0.(1)；A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.(2)那么方程A₁x+B₁y+C₁z+D₁+λ(A₂x+B₂y+C₂z+D₂)=0.(3)所表示的平面必过平面(1)和(2)的交线？为什么？在线等大神解答。

Answer 1

1、这个还真是人为规定的。

数学是为了解决实际问题而出现的，先看一个具体问题：你用扳手拧螺帽。扳手有一个方向n1，你施力又有一个方向n2，这个结果是使螺帽绕着它的中心轴方向n3转动了。你会发现，n3是同时垂直n1和n2的。这就是向量积的物理意义，基于此才人为做了这个规定。

2、这个问题就更简单了，(1)和(2)的方程组表示交线，如果一个平面经过他，那必须都满足(1)和(2)吧？你看方程(3)是不是都满足(1)和(2)的？

追问

第一个问题的回答很满意。不过第二个还不是很理解 ，（3）式同时满足（1）（2）吗？怎么我觉得是（1）（2）可以推出（3）?再说同时满足了就能表示经过那条直线的无数条直线了吗？

追答

你说得对，（1）（2）可以推出（3），从代数上说，如果x，y，z满足（1）（2），就一定满足（3），从几何上说就是如果一个点在（1）（2）表示的直线上，就一定在平面（3）上，不就是这个平面通过了交线吗？另外，由于这个平面含有参数λ，所以其实表示的是无数个平面。一旦λ
确定就表示唯一平面了。

Answer 2

a=axi+ayj+azk，b=bxi+byj+bzk，c=a×b=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k

前两个公式理解吧，后一个等式书上的，先不管怎么来。

a·c=(axi+ayj+azk)·((aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k) =axaybz-axazby+ayazbx-ayaxbz+azaxby-azaybx=0可以知道a和c是垂直的，同理可知b和c垂直。ok我们谈谈公式c=a×b的推导。

所有问题都联系起来了吧？