Question

x的平方+y的平方+xy=1,求x+y最大值，要求多种方法，越多越好

多种方法，多种方法。

Answer 1

x²+xy+y²=1
由均值不等式得x²+y²≥2xy
2xy+xy≤1
xy≤1/3
(x+y)²-xy=1
(x+y)²=1+xy≤1+1/3=4/3
-2√3/3≤x+y≤2√3/3
x+y的最大值为2√3/3

追问

还有别的方法吗，用向量可以吗

Answer 2

x²+xy+y²=1
因为x²+2xy+y²≥0 x²-2xy+y²≥0
所以 1/3≥xy≥-1
因为(x+y)²=x²+2xy+y²=1+xy
所以4/3≥(x+y)²≥0
所以x+y的最大值为2/(√3)