Question

求一道数学题解析过程，明天就高考了，急！

空间有四个球，半径分别为2,2,3,3。每个球都和其余的三个球外切，另有一个小球与这四个球都相切，求这个小球的半径。

Answer 1

解
建立直角坐标系O-xyz.
不失一般性,可令半径为3的两个球的球心在x轴上,切点在原点上,小球球心在z轴上,半径为r,则大球球心坐标为(3,0,0),(-3,0,0)小球球心坐标为(0,0,z0) (令z0>0)
因为四个球两两相切则半径为2的两个球的切点必在z轴上,故令在y正半轴的半径为2的球心(0,2,z1)
(由假设z0>0,知z1>0)
大球与中球的距离是5,即(3,0,0)到(0,2,z1)的距离为5,
所以(0-3)^2+(2-0)^2+(z1-0)^2=5^2,解得 z1=2√3,所以半径为2的球心(0,2,2√3),
又由原点,(3,0,0),和点(0,0,z0)所构成的直角三角形中,由勾股定理得 z0=√[(3+r)^2-3^2]=√(r^2+6r)
所以小球球心坐标为(0,0,√(r^2+6r))
又半径为2的球心(0,2,2√3)到小球球心(0,0,√(r^2+6r))的距离为r+2
所以(0-0)^2+(0-2)^+(√(r^2+6r))-2√3)^2=(r+2)^2,整理得 11r^2+60r-36=0
解得 r=6/11 r=-6(舍去)

明天就高考,在这里我们为你加油！祝你马到功成！

Answer 2

四个球的球心形成边长为4、5、5、5、5、6的四棱锥，四个面均为等腰三角形，以边长为4的棱做剖面垂直于边长为6的棱，此时剖面为边长为4的等边三角形且为该四棱锥的对称面，等边三角形的高为2√3；一个小球与这四个球都相切，设小球的半径为r，该小球的球心在等边三角形的高上，则√[(6/2+r)²-(6/2)²]+√[(4/2+r)²-(4/2)²]=2√3，√[r²+6r]+√[r²+4r]=2√3，(11r-6)(r+6)=0，解得：r=6/11，或r=-6(舍去)，小球的半径为6/11.

Answer 3

AC=4,BC=CD=AD=AB=5

BD=2根号（21）

设BP=PD=3+R,CP=AP=2+R

由勾股定理可知（其中P的射影一定在AC、BD中点）：

则(3+R)^2-21+4=(2+R)^2

故得R=6

追问

不对……

追答

嗯，是我弄错了，不好意思，别人回答的是对的。

Answer 4

楼主要加油啊