Question

设lim(x趋向无穷) 1/x^а∫(积分上限x^2 积分下限0)√(1+t^4)dt=C≠0,求常数а与C

Answer 1

x趋于无穷,那么分子∫(上限x^2,下限0)√(1+t^4)dt 也趋于无穷,
如果极限值为无穷的话,分母x^a也要趋于无穷
使用洛必达法则,对分子分母同时求导,
原极限
=lim(x趋于无穷) 2x *√(1+x^8) / ax^(a-1)
=lim(x趋于无穷) 2√(1+x^8) / ax^(a-2)
而极限值为非零常数C,
那么分母和分子x的最高次数一定是相等的,
显然分子√(1+x^8)的次数为8/2=4,
所以分母的x次数为a-2=4,
即a=6,
故原极限
=lim(x趋于无穷) 2√(1+x^8) / 6x^4
=lim(x趋于无穷) 1/3 * 1/√(1+1/x^8)
而此时1/√(1+1/x^8)趋于1,
所以
原极限=1/3=C,
故a=6,C=1/3