Question

中心极限定理

Answer 1

中心极限定理： 在任意一个总体中随机抽取样本量为n的样本，抽m次，分别求出每次抽取样本的平均值，这些平均值的分布接近于正态分布。

数学表达式：

设从均值为 ，方差为 （有限的）一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值 的抽样分布近似服从均值为μ、方差为 的正态分布。

成立条件：

（1）每次的抽样都是独立的，互不影响的；

（2）N充分大时，抽取的样本量要大于等于30（即n 30）；

（3）抽样观察的数值分布不能强烈歪斜（样本数量越大，对歪斜程度的容忍度越高）；

独立同分布： 随机变量服从同一分布，并且相互独立，那么，随机变量是独立同分布的。

独立： 指随机变量是相互独立的，即，每次抽样的结果，不会相互影响，即这次的抽样结果不会对下一次的抽样结果有影响，抽样的结果可能相同，也可能不相同（比如：掷硬币、摇骰子）

同分布： 指随机变量有着相同的分布参数、相同的分布函数、相同的期望和方差。

SD 和SE的关系及区别：

SD（样本标准差）： 某一次抽样中，每个样本对样本平均值之间的离散程度

SE（样本标准误）： 多次抽样后，样本平均值对总体平均值之间的离散程度

区别： SD是描述个体之间的变异程度；SE是描述样本平均值之间的误差，对一组抽样数据可靠性的估计（标准误越小，说明样本平均值与总体平均值越接近，否则，表明样本平均数比较离散）。

关系： 标准差是  ，标准误是  ，标准误是标准差的  ;二者都是衡量样本变量随机性的指标，只是从不同角度来反映误差。

常见的应用：

用户对产品的满意度调研：XX公司想知道某产品的用户对服务的满意度，我们需要知道用户对产品服务满意度的打分情况，然后，算出满意度平均值，该平均值就可以代表用户对产品服务的满意度。产品的用户是个很大的数字，不可能做到一个一个的去调查；但，我们可以去选择进行抽样调查。假如，该产品的用户为100万，我们开始随机抽样，每次抽样样本量为100个，调查出100个人的满意度的平均值，做10次的抽样调查（也可以做更多次的抽样调查），我们可以根据中心极限定理发现，这10次的满意度平均值和该产品的满意度平均值很近似。