Question

已知：如图，四边形ABCD中，AC平分角BAD，CE垂直AB 于E，且AE=½（AD+AB），求证∠B+∠D=180度

Answer 1

解：延长AE至F，使AE=EF，则AF=2AE
∵AD+AB=2AE
∴AF=AD+AB
而AF=AB+BF
∴BF=AD（1）

∵AE=EF，CE⊥AF，CE=CE
所以Rt△AEC≌Rt△FEC
所以∠F=∠EAC，CF=CA（2）

∵AC平分∠BAD，所以∠EAC=∠DAC
∴∠F=∠DAC
由（2）知：CF=FA（3）
结合（1）（2）（3）可得：
△ADC≌△FBC，
∴∠FBC=∠D

∠FBC和∠B是互补的，其度数和为平角，即180°
故∠ADC+∠B=180°

Answer 2

做CF垂直于AD与F AC是角平分线 所以CE=CF
2AE=AB+AD 2AE=AE+EB+AD AE=EB+AD
AF=AD+DF
所以 EB=DF
三角形CEB全等于CDF 角CDF=B b+d= 180

Answer 3

解：延长AE至F，使AE=EF，则AF=2AE
∵AD+AB=2AE
∴AF=AD+AB
而AF=AB+BF
∴BF=AD（1）

∵AE=EF，CE⊥AF，CE=CE
所以Rt△AEC≌Rt△FEC
所以∠F=∠EAC，CF=CA（2）

∵AC平分∠BAD，所以∠EAC=∠DAC
∴∠F=∠DAC
由（2）知：CF=FA（3）
结合（1）（2）（3）可得：
△ADC≌△FBC，
∴∠FBC=∠D

∠FBC和∠B是互补的，其度数和为平角，即180°
故∠ADC+∠B=180°