Question

设V = <S, ◦>是一个半群，若二元运算 ◦ 满足交换律，

设V = <S, ◦>是一个半群，若二元运算 ◦ 满足交换律，则对任意的幂等元a, 映射fa ( x ) = a ◦ x, 是一个V上的自同态。

证明这个结论。

Answer 1

半群满足结合律，
又因为V满足交换律，则

fa(a ◦ x)= a ◦ (a ◦ x)
=(a ◦ a) ◦ x (因为满足结合律)
=a ◦ x (因为a是幂等元) ①

fa(a)= a ◦ a =a (因为a是幂等元)
并且
fa(x)=a ◦ x
则
fa(a) ◦ fa(x) = a ◦(a ◦ x) =a ◦ x （由 ①式）

则 fa(a ◦ x) = fa(a) ◦ fa(x)
即f是V上的自同态。

Answer 2

半群满足结合律，
又因为V满足交换律，则

fa(a ◦ x)= a ◦ (a ◦ x)
=(a ◦ a) ◦ x (因为满足结合律)
=a ◦ x (因为a是幂等元) ①

fa(a)= a ◦ a =a (因为a是幂等元)
并且
fa(x)=a ◦ x
则
fa(a) ◦ fa(x) = a ◦(a ◦ x) =a ◦ x （由 ①式）

则 fa(a ◦ x) = fa(a) ◦ fa(x)
即f是V上的自同态。