Question

a，b，c是正整数，并且满足等式abc+ab+ac+bc+a+b+c+1=2004，那么a+b+c

a，b，c是正整数，并且满足等式abc+ab+ac+bc+a+b+c+1=2004，那么a+b+c的最小值是

Answer 1

abc+ab+ac+bc+a+b+c+1
=ab(c+1)+a(c+1)+b(c+1)+(c+1)
=(c+1)(ab+a+b+1）
=(a+1)(b+1)(c+1）
=2004；
因为a、b、c都是正整数,
那么a+1、b+1、c+1也都是正整数,且它们都大于或等于2。
因为2004=2×2×3×167
现在要把2004写成3个正整数的乘积,只有下面4种情况：
A,2004=2×6×167,此时a+1+b+1+c+1=2+6+167=175,那么a+b+c=172；
B,2004=2×3×334,此时a+1+b+1+c+1=2+3+334=339,那么a+b+c=336；
C,2004=2×2×501,此时a+1+b+1+c+1=2+2+501=505,那么a+b+c=502；
D,2004=4×3×167,此时a+1+b+1+c+1=4+3+167=174,那么a+b+c=171。
综上，a+b+c=172或336或502或171。

Answer 2

abc+ab+ac+bc+a+b+c+1=2004
化为(a+1)(b+1)(c+1)=2004
因此a+1, b+1, c+1为2004的因数。
而2004=2²x3x167
要使a+b+c最小，则须尽量选相差小的因数，为4, 3, 167
即a, b, c分别为3, 2, 166
因此a+b+c最小为171.

追问

谢谢~

Answer 3

当a=b=c时(a+b+c)的值不变时，abc、ab、bc、ca这四组乘积有最大值。
a³+3a²+3a+1=(a+1)³=2004
a+1=³√2004
a=³√2004-1
a+b+c=3a=3³√2004-3