Question

大学微积分？

救命😭

Answer 1

关于大学微积分，阐述微积分与多项式的连结，从而导出讨论极限的动机，并指出微分和积分为物理观念提供的模型，经由此模型直觉的认识微积分基本定理。推荐先观看每个小节下链接里视频, 再看整理后的笔记内容.

微积分是什么

图片中间仙女后背的彩带写着拉丁文"算数", 左边一位正在使用刚传入欧洲的阿拉伯数字进行计算, 而右边那位正在用计算板算着什么, 其中上面用来做辅助计算的小石头就是 Calculus .

其实 Calculus 是单数.

它的复数是 Calculi, 现在又译为结石.

Calculus: 名词, 计算方法

Calculate: 动词, 计算

1684年，莱布尼茨在汉诺威担任图书馆馆长期间，发表了论文《一种求极大值、极小值和切线的新方法》, 这是世上第一篇公开发表的微分学论文.

Calculus 透过对"无穷"的理解与掌握发展出来的一套计算方法.

Calculus 分为两大类:

Differential Calculus(微分)

Integral Calculus(积分)

函数 vs 微分

瞬时的速度究竟在数学用极限来表示.

"导数测量的是瞬时变化率"这样的表述其实是有问题的，因为总是需要拿出两个时间点来做比较才能求出变化量. 所以函数在某点的导数还是视为在该点附近变化率的最佳近似好了.

面积 vs 积分

积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用. 积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出，称为“黎曼积分”. 黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限.

多项式函数

二次多项式函数

任意的 2 次多项式都可以经过配方转换为下面的形:

二次函数必有极值, 且图形都是简单二次函数图形 a x^2 平移的结果

三次多项式函数

它的图形是三次函数 y=a x^3+b x 的平移, 下面是一个示例, 这样的函数是奇函数,拐点(Inflection point, 台:反曲点)在(0,0)处, 而经过向左平移2, 向上平移 3 后的函数拐点在(2,3)处.

三次函数与二次函数不同之处:

三次函数一定会有拐点;

二次函数一定会有极值, 三次函数不一定有极值;1684年，莱布尼茨在汉诺威担任图书馆馆长期间，发表了论文《一种求极大值、极小值和切线的新方法》, 这是世上第一篇公开发表的微分学论文.

Answer 2

∞/∞ 型， 用洛必达法则， 得
原式 = lim<x→(π/2)->[-1/(π/2-x)]/[(secx)^2/tanx]
= lim<x→(π/2)->[-1/(π/2-x)]/[1/(sinxcosx)]
= lim<x→(π/2)->[-(1/2)sin2x/(π/2-x)]
= lim<x→(π/2)->[-sin2x/(π-2x)] (0/0)
= lim<x→(π/2)->[-2cos2x/(-2)] = -1