Question

设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（ax2+bx+1）．记集合S=|x|f（x）=0，x∈R|

设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（ax2+bx+1）．记集合S=|x|f（x）=0，x∈R|，T=|x|g（x）=0，x∈R|，若cardS，cardT分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（　　）
A．）cardS=1，cardT=0 B．）cardS=1，cardT=1C．）cardS=2，cardT=2 D．cardS=2，cardT= 3
为什么D不可能
对{T}，只要b2-4a>0,{T}=3就可能

Answer 1

A.a=0，b^2-4c<0，c≠0 B.a≠0，b^2-4c<0，c≠0 C.a≠0，c=0 只有D不可能 若D可能,T={x1,x2,x3},其中x1=-1/a,x2x3=c,x2+x3=-b，x1≠x2≠x3 S={x1',x2',x3'}，其中x1‘=-a=1/x1，x2’x3‘=1/c,x2’+x3‘=-b/c,∴1/x2'+1/x3'=-b,1/x2'x3'=c ∴可令x2'=1/x2，x3'=1/x3，∴必有x1'≠x2'≠x3'，{S}肯定等于3

追问

x2x3=c,x2+x3=-b怎么可能，g(x)里没有c

追答

(1)(x-x1)(x-x2)(x-x3)=x^3-ax^2+bx-c=0 (2)由上式得,x^3-(x1+x2+x3)x^2+(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3=x^3-ax^2+bx-c; x1+x2+x3=a; x1x2x3=c;x1x2+x2x3+x1x3=b; 由x1x2x3=c可知，三个根可能有一个为正数或者3个都为正数； 假设有一个为正数，不妨设x1为正，其余为负； 由x1+x2+x3=a>0,得x1>-(x2+x3), x1(x2+x3)0,则)-(x2+x3)(x2+x3)+x2x3>0,即x2^2+x3^2+x2x3<0,显然与假设矛盾，故x1,x2,x3都大于零 (3)f'(x)=3x^2-2ax+b, f(x)在x=α,x=β处取得极值,得x=α,x=β为上述方程的根,α+β=2a/3,αβ=b/3, 又-1<α<0<β<1,则-3/2<a<3/2,-3<b<0, 若a∈Z，b∈Z且|b|<2, 则a=1,0或-1,b=-1 分别带入，a=0时，此方程三个根两两不等时，则f(α)f(β)<0, 得[c-α(α^2-1)][c-β(β^2-1)]<0, β(β^2-1)]<c<α(α^2-1), g(x)=x^3-x, 极值分别为-2(3的平方根)/9,-2(3的平方根)/9 故-2(3的平方根)/9 <=c<=-2(3的平方根)/9 当a=-1或1时，同理可得，-1<c<1(此处不是全是极值，在边界也达到了最大最小值)