Question

多边形的内角和与外角和

Answer 1

我们早已接触过，三角形的内角和为180度，四边形的内角和为360度，但是好像严格证明过的很少。我们现在已是初二，该严谨证明他们啦。

三角形内角和：

四边形内角和：

三角形和四边形的内角和我们比较熟悉，那五边形呢？我们可以来分割一下：

我们有没有发现什么规律呢？三角形的内角和为180度，四边形的内角和为360度，五边形的内角和为540度……那对于n边形的内角和，我们又能总结出什么呢？比如说六边形可以分割成四个三角形，七边形可以分割成五个三角形……连接一个顶点到各顶点的线段，一个n边形就可以分割成n-2个三角形。如图：

依次连接AC、AD、AE和AF，而因为AB、AG本来就是这个七边形的边，所以在多边形中，连接n-3条对角线，我们就能分割出n-2个三角形。则多边形的内角和就是（n-2）乘以180度。

研究完内角和，就该研究外角和了，外角是与内角邻补的，而相对于内角和，外角和就显得陌生些了。我之前好像听说过三角形的外角和是360度：

那四边形的外角和呢？试一下：

那五边形的外角和莫非也是360度？

哇！也就是说多边形的外角和都是360度？试想，n边形的外角就等于180度减去与它相邻的内角，也就是说，n个平角减去内角和等于外角和，则：

我们还可以用几何变换来解释多边形形的外角和。比如，如果我们把多边形的每条边顺时针或逆时针延长，然后无限缩小，就会发现这多条边的延长线都相交于一点，也就是一个周角，所以说外角和都为360度。还有一种通过旋转变换来解释。想象一下，如果我们把多边形所有的边延长，然后从一条边开始，将这条边旋转一定角度直到与它相邻的边重合，然后再旋转一定角度使与它相邻的边重合，直到它转到原来的位置。那么就是说这条边绕了一圈，它扫过的面积便是一个圆，外角和也对应着，就是360度了。

那外角和与内角和又有什么关系呢？实际上我们前面也有略微提到，因为外角与内角邻补，所以外角就等于180度减去它对应的内角，所以在n边形中，n个平角减去所有的内角和就等于外角和。

诶？等等，我们前面提到的全部都是凸多边形，但是还有一种多边形是凹多边形！凹多边形的内角和外角和是否跟凸多边形的一样呢？我们来试一下：

看来我们在证凸多边形的内角和时用到的“分割法”依旧成立，也就是说不论是凸多边形还是凹多边形，内角和都是（n-2）乘以180度。那外角和呢？凹多边形的外角和是否也都是360度呢？我们首先就得明确一下，在凹多边形中，外角到底是哪几个角。我们可以用先前说过的旋转变换来定义外角：

比如在这幅图中，角1、角2、角3、角4就分别是这个多边形的外角。那这四个角加起来是否也等于360度呢？

？？证着证着，怎么变成角1加角2加角3减角4等于180度了呢？试试五边形，会不会得到类似的结果呢？

天呐！难道这就是凹多边形外角和的规律吗？在凹多边形中，除大于平角的内角对应的外角（如两张图中的角4）外，其他外角的和再减去这个外角，就等于360度。

凹多边形在教材上是没有进一步讨论的，这主要是因为在凹多边形中有大于平角的角吧，但是凹多边形真的是一种很神奇的形状……