Question

求大神解答(Ｔ▽Ｔ)

Answer 1

3.(1)若存在x0∈(a,b),使得f(x0)=m>0,因f(x)在[a,b]上连续，故存在n>0，使得
当a<=x0-n<x<x0+n<=b时|f(x)-m|<m/2,
此时f(x)>m/2,
f(x)>=0,
∴∫<a,b>f(x)dx>=∫<x0-n,x0+n>f(x)dx
>∫<x0-n,x0+n>(m/2)dx=mn>0,矛盾。
∴x∈(a,b)时f(x)≡0,
f(x)在[a,b]上连续，
∴x∈[a,b]时f(x)≡0.
(2)已证。
(3)令F(x)=g(x)-f(x)>=0,由(1),F(x)≡0,∴f(x)≡g(x).
(4)由积分中值定理，存在u∈[a,b],使得∫<a,b>f(x)dx=(b-a)f(u),
由f(x)在[a,b]上连续，立知结论成立。