Question

求第6，7，8，9的答案，高中数学选修4不等式证明，谢谢！

Answer 1

解：

证明：（1）a,b,c为正数，

则a+b≥2 ab,b+c≥2 bc,c+a≥2 ca 

三式相乘得⎛ ⎜ ⎝⎞⎟⎠a+b⎛ ⎜ ⎝⎞⎟⎠b+c⎛ ⎜ ⎝⎞⎟⎠c+a≥8 a2b2c2 ,即⎛ ⎜ ⎝⎞⎟⎠a+b⎛ ⎜ ⎝⎞⎟⎠b+c⎛ ⎜ ⎝⎞⎟⎠c+a≥8abc 

当a=b=c时等号成立，

因为a,b,c是不全相等的正数，故⎛ ⎜ ⎝⎞⎟⎠a+b⎛ ⎜ ⎝⎞⎟⎠b+c⎛ ⎜ ⎝⎞⎟⎠c+a>8abc 

（2）由a+b≥2 ab,b+c≥2 bc,c+a≥2 ca 

三式相加得2a+2b+2c≥2 ab+2 bc+2 ca ,即a+b+c≥ ab+ bc+ ca 

当a=b=c时等号成立，

因为a,b,c是不全相等的正数，所以a+b+c> ab+ bc+ ca .

追答

6

证明：∵a2+b2≥2ab，
b2+c2≥2bc，
c2+d2≥2cd，
d2+a2≥2da，
以上不等式相加即得a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da，
当且仅当a=b=c=d时取等号．
∴a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da．

7