Question

极限证明问题。。

定义里说是对任意大于零的ε都要成立，但书本里给的例题很多都人为限定了ε的范围，我明白如果对较小的ε成立，那么对较大的ε也成立，但书本里给的ε范围我实在不明白什么意思，比如例三，证明q的n次方极限为0(绝对值q小于1)，在讨论绝对值q不为零的情况时，限定了ε小于绝对值q，通过运算最后只需要证明n>lgε/lg∣q∣能有N存在即可，如果我们不限定ε的范围(只认为ε>0)，那么当ε<1时，可以找到N=［lgε/lg|q|],已经满足了，对ε≥1应该也满足，那么例题中给出的ε限制范围<|q|意义何在？，同样书本例4中证明a(a>0)的1/n次方极限为1时，当对a大于1的情况讨论时，也附加限制了ε<a-1的条件，但从证明过程看，不附加这个条件没有什么影响，求大神给指点迷津，第一天看高数就看晕了

Answer 1

①
既已明白【如果对较小的ε成立，那么对较大的ε也成立。】
那么，对于书本里限定的ε范围，我们首先应该承认：
不论是出于何种考虑，这样做限定总是可行的。
然后再具体问题具体分析：为什么要做那样一个限定。
②
比如例3，需要证明的式子是【|q|<ε】
如果本身ε已经>∣q∣，那就无需证明了。
更加本质的问题是，我们是要证明【|q|是可以任意小的】这件事，
如果我们只是证明了|q|<1《ε，那这件事并未得到充分的证明。
例4可以同理分析。