Question

如图，角BOA等于90度,点cd是弧ab的三等分点，AB分别交OC,OD与点E,F. 求证：AE=

如图，角BOA等于90度,点cd是弧ab的三等分点，AB分别交OC,OD与点E,F.
求证：AE=BF=CD.

Answer 1

证明：连接AC、BD
∵点C、D是弧AB的三等分点
∴弧AC=弧CD=弧BD
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=1/3 · ∠AOB=1/3 x 90°=30°
∴AC=CD=BD（相等的圆心角所对的弦相等）
∴圆心角 ∠BOC=∠COD+∠BOD=60°
∴圆周角 ∠CAB= 1/2 · ∠BOC=1/2 ·60°=30°
（同弧所对的圆周角，等于它所对的圆心角的一半）
∵△AOC中：OA=OC，∠AOC=30°
∴∠OAC=∠OCA=（180°-∠AOC）/2 =75°
∴△ACE中：∠AEC=180°-∠OCA-∠CAB=180°-75°-30°=75°
∴∠AEC=∠OAC
∴AC=AE（等角对等边）
∴结合AC=CD=BD得到：AE=CD
同理可得：BF=CD
∴AE=BF=CD

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