Question

设fx在闭区间［a.b］上满足f''x>0，试证明存在唯一的c（a<c<b）使得f'c=f（b）-

设fx在闭区间［a.b］上满足f''x>0，试证明存在唯一的c（a<c<b）使得f'c=f（b）-f（a）/bˉa

Answer 1

1. 由于fx在闭区间［a.b］上满足f''x>0，则有f'x在[a,b]上存在
   根据拉格朗日中值定理，存在c（a<c<b）使得f'c=f（b）-f（a）/b-a

2. 反证法：

   假设存在a<Co<b且不等于C，使得f'c=f（b）-f（a）/b-a，那么必有f'c = f'Co，

   又由已知条件，f''x>0，则f'c在闭区间［a.b］上单调递增，当Co不等于C时，必有f'c 不等于 f'Co，这与假设下的结论相矛盾，故假设不成立。

   综上，即存在唯一的c（a<c<b）使得f'c=f（b）-f（a）/bˉa