Question

已知f(x)=ax^3+bx^2-3x,在点(1，f(1))处的切线方程为y+2=0.若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x1,x...

已知f(x)=ax^3+bx^2-3x,在点(1，f(1))处的切线方程为y+2=0.若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|<=c，求实数c的最小值

Answer 1

f'(x)=3ax^2+2bx-3，由在x=1处的切线方程为y+2=0知函数在x=1处的斜率为0
所以f'(1)=3a+2b-3=0
且f(1)=a+b-3=-2，由这两个方程解得a=1，b=0
所以函数解析式是f（x)=x^3-3x
令f'(x)=3x^2-3<0得-1<x<1
令f'(x)=3x^2-3>0得x<-1或x>1
函数在x=-1处取得极大值，f（-1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=-2
端点值f（-2）=-2，f（2）=2
所以函数在区间[-2，2]上最大值是2，最小值是-2
所以在[-2，2]中的x1，x2满足|f(x1)-f(x2)|<=2-（-2）=4
所以c>=4，所以c的最小值是4

Answer 2

有题知道，a+b-3=-2,3a+2b-3=0,得a=1,b=0,
f(x)=x^3-3x其过点（-根号3，0），（根号3，0），（0，0）
所以|f(x1)-f(x2)|<=c=根号3+根号3=2根号3