Question

已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9,a2a3=8.

已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9,a2a3=8.
设Sn为数列{an}的前n项和，bn=an+1/SnSn+1，求数列{bn}的前n项和Tn

Answer 1

解：设an=a1q^(n-1)，则a1+a4=a1+a1q^3=9，a2a3=a1q*a1q^2=(a1)^2q^3=8。消去(a1)^2q^3有(a1)^2-9a1+8=0，∴a1=1、8。当a1=1时，q=2，an=2^(n-1)，递增，符合题意。当a1=8时，q=1/2，an=(1/2)^(n-1)，递减，不符合题意，舍去。∴an=2^(n-1)，sn=(2^n)-1。bn=(an+1)/[snsn+1]=(1/2){1/(2^n-1)-1/[2^(n+1)-1]}，∴Tn=(1/2){1-1/[2^(n+1)-1]}。供参考啊。

Answer 2

解：（1）∵数列{an}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
∴a1+a4=9，a1a4=8．
解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），
解得q=2，即数列{an}的通项公式an=2n-1；
（2）Sn=
a1(1-qn)
1-q
=2n-1，
∴bn=
an+1
SnSn+1
=
Sn+1-Sn
SnSn+1
=
1
Sn
-
1
Sn+1
，
∴数列{bn}的前n项和Tn=
1
S1
-
1
S2
+
1
S2
-
1
S3
+…+
1
Sn
-
1
Sn+1
=
1
S1
-
1
Sn+1
=1-
1
2n+1-1
．