Question

高数一道极限题 证明(1+x)的1/n次方在x趋于零时的极限值为1。

Answer 1

我不知道LZ是不是大一学生，如果是的话，你应该学过“初等函数在定义区间上连续”这个定理。

而f(x) = (1+x)^{1/n}是一个初等函数，x=0在函数的定义区间内，因此f(x)在x=0连续。

所以lim_{x->0} f(x) = f(0) = 1.

当然也可以用ε-δ的方法来做，见图片：

Answer 2

用个夹逼定理，x＞0时，它介于1与1+1/n*x之间；x＜0时，它介于1+1/n*x与1之间。所以极限是1。
用定义的话，因为|f(x)-A|≤1/n*|x|，所以由|f(x)-A|＜ε得|x|＜nε，只要让去心邻域的半径δ≤nε即可。

Answer 3

给个思路吧，把过程写全还是有点麻烦。
主要是对任意给定的ε>0, 存在δ>0,对任意的0<|x-0|<δ, 成立|(1+x)^(1/n)-1|<ε
这里关键就是根据ε和|(1+x)^(1/n)-1|<ε把δ求出来即可。
(-ε+1)^n-1<x<(ε+1)^n-1
(-ε+1)^n-1<x<(ε+1)^n-1
这里可以取δ为(-ε+1)^n-1,(ε+1)^n-1之间绝对值最大者就可以了。