Question

已知AD是ABC三角形的角平分线，DE垂直AB，DF垂直AC，垂足分别是E、F，求证：AD垂直平分EF．

Answer 1

解：因为DE⊥AB DF⊥AC

所以∠AED=∠ADF=90°

因为AD是ABC三角形的角平分线

所以∠1=∠2 DE=DF

因为∠AED+∠ 1+∠ 3=180 

∠ AFD+∠ 2+∠ 4=180

所以 ∠ 3=∠ 4

所以DA平分∠ EDF 

因为三角形EDF为等腰三角形

所以G为EF中点 DG⊥EF

所以AD垂直平分EF．

Answer 2

做出图形，把AD看成直径，他的中点O即圆心，连接EO与FO.由三角形全等条件知三角形AED与AFD全等，因为角EAO与角FAO相等，所以角EOD与角FOD相等即OD为三角形EOF的角平分线。（同圆中长度相等的弦所对的圆心角和圆周角相等。指的是ED和DF）.又因EO与FO相等且都为半径，所以三角形EOF为等腰三角形，由三线合一得，OD垂直平分EF,亦即AD垂直平分EF.
题目得证。