Question

用单调有界收敛准则证明并求出极限

题目：利用单调有界数列必有极限存在准则,证明数列极限存在并求出数列为：√2,√（2+√2）,√（2+√（2+√2））……

问题： 当证明出an是单调有界函数 ，并存在极限之后。
ak+1=√（ak+2） ，设极限=A , 则有A=√(A+2) 就是这一步 不太明白，前面的 ak+1=√（ak+2）不就只是一个等式吗，为什么极限两边都可以用A ，这样有来求极限有意义吗

Answer 1

极限下an=a(n-1),所以A=√(A+2),因为a(n+1)=an，都是趋近这个A值。然后算出来A的值就是极限值。
数列A(n+1)/An=√(An+2)/An如果An是无界的函数，An=∞那么A(n+1)/An=0，这个却表明函数是收敛即有界，说明An趋近某一个值。

追问

两个问题 ：1 是因为 n 和 n+1 都已经趋近无限大，即an 与an+1都趋近于 A( 极限值） 的意思吗 2 我们老师上课还讲了 把an+1看成子数列 ，那是什么意思啊

追答

1：对的，就是这样理解的。
2：和这题没有什么关系吧，子数列是其他的问题吧。
数列有界，那么子数列有界。反之不一定成立。

追问

最后一个问题 ：那比如给出一个数列 ，只要首先证明它有极限 ，然后只要找到an+1 与an的关系就一定能求出极限值？（一定吗）

追答

是的 。除非这个方程不能精确解。高次方程只有数值解。但逻辑上一定能解