Question

中考二十四题，数学

如图一所示，一张三角形纸片ABC，角ACB=90°，AC=8，BC=6，沿着斜边AB的中线CD把这张纸片剪成三角形AC1D1和三角形BC2D2两个三角形{如图2所示}。将纸片三角形AC1D1沿着直线D2B[AB]方向平移[点A、 D1、 D2、 B]始终在一条线上],当点D1与点B重合时，停止平移，在平移过程中，C1D1与BC2交与点E，AC1与C2D2 、BC2分别交与点F 、P。
问题一：当三角形AC1D1平移到如图三所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想。
问题二：设平移距离D2D1为x，三角形AC1D1与三角形BC2D2的重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式。
问题三：对于问题二种的结论是否存在这样的x的值，使重叠部分的面积等于原三角形ABC的面积的四分之一。若存在，求x的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）D1E=D2F，
∵C1D1∥C2D2，
∴∠C1=∠AFD2．
又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1，
∴∠C1=∠A，
∴∠AFD2=∠A，
∴AD2=D2F；
同理：BD1=D1E．
又∵AD1=BD2，
∴AD2=BD1．
∴D1E=D2F．
（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=10，
即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5；
又∵D2D1=x，
∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x，
∴C2F=C1E=x，
∵在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高为245，△BC2D2的面积=12x5x245=12，
∴设△BED1的BD1边上的高为h，
∵C1D1∥C2D2，
∴△BC2D2∽△BED1，
∴5hx24=5-x5，
∴h=24(5-x)25，
∴△BED1的面积=12×BD1×h=12 ×(5-x)×24(5-x)25=12 25 （5-x）2，
又∵∠C1+∠C2=90°，
∴∠FPC2=90°；
又∵∠C2=∠B，
∴△C2FP∽△EC1P，
∴C2F：EC1=PF：C1P，
∴PC2=
∴△C2FP的面积=6 25 x2，
故y=△BC2D2的面积-△BED1的面积-△C2FP的面积=-16 25 x2+24
5 x．（0≤x≤5）

Answer 2

图不规范,看不清

Answer 3

图不规范！没法做！