Question

如图，三角形ABC中，角ABC=90度，E为AC的中点。 操作：过点C作BE的垂线，过点A作BE的平行线，两直线相交于

点D，在AD的延长线上截取DF=BE。连结EF、BD。
（1）试判断EF与BD之间具有怎样的关系？并证明你所得的结论。
（2）如果AF=13，CD=6，求AC的长

Answer 1

（1）EF垂直BD且互相平分。
理由：连接BF和DE，因为AF平行BE，DF=BE，所以BE平行且等于DF，所以四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；又因为点E是直角三角形ABC和ADC斜边的中点，所以BE=DE=AC的一半；所以平行四边形BEDF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）；所以BD垂直EF且互相平分（菱形的对角线互相垂直且平分）。
（2）设CE=X，则BE=DF=CE=X，AC=2X，AD=AF-DF=13-X；
所以根据勾股定理：AD的平方+CD的平方=AC的平方，可得方程：
6的平方+（13-X）的平方=（2X）的平方，
解得：X=5 或 负的3分之41，
负的3分之41不合题意，应舍去，所以AC=2X=10。

Answer 2

（1）EF垂直BD且互相平分。
理由：连接BF和DE，因为AF平行BE，DF=BE，所以BE平行且等于DF，所以四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；又因为点E是直角三角形ABC和ADC斜边的中点，所以BE=DE=AC的一半；所以平行四边形BEDF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）；所以BD垂直EF且互相平分（菱形的对角线互相垂直且平分）。
（2）设CE=X，则BE=DF=CE=X，AC=2X，AD=AF-DF=13-X；
所以根据勾股定理：AD的平方+CD的平方=AC的平方，可得方程：
6的平方+（13-X）的平方=（2X）的平方，
解得：X=5 或 负的3分之41，
负的3分之41不合题意，应舍去，所以AC=2X=10。