Question

如图1,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在E,F分别在BC,CD边上那个,高AG与正方形的边长相等。

如图1,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在E,F分别在BC,CD边上那个,高AG与正方形的边长相等，（1）求∠EAF的度数。（2）设正方形的边长为1，BE=X，DF=Y，求X与Y的函数关系。

Answer 1

（1）因为AG=AB，直角三角形ABE中，BE^2=AE^2-AB^2,同理EG^2=AE^2-AG^2,所以三角形ABE全等于三角形AGE，所以角BAE=角GAE,同理可得角GAF=角DAF,所以2（角EAG+角FAG)=90度，即角EAF=90角度
（2）CE=1-X,CF=1-Y,EG=BE=X,GF=DF=Y,则EF=X+Y，所以(X+Y)^2=(1-X)^2+(1-Y)^2,
化简得X+Y+XY=1

Answer 2

解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，AB=AG，AE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．
∴∠BAE=∠GAE．（1分）
同理，∠GAF=∠DAF．
∴∠EAF=
12∠BAD=45°．（2分）

（2）MN2=ND2+DH2．（3分）
∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．
∴∠HAN=∠MAN．
又∵AM=AH，AN=AN，
∴△AMN≌△AHN．
∴MN=HN．（5分）
∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．
∴NH2=ND2+DH2．
∴MN2=ND2+DH2．（6分）

（3）由（1）知，BE=EG，DF=FG．
设AG=x，则CE=x-4，CF=x-6．
在Rt△CEF中，
∵CE2+CF2=EF2，
∴（x-4）2+（x-6）2=102．
解这个方程，得x1=12，x2=-2（舍去负根）．
即AG=12．（8分）
在Rt△ABD中，
∴BD=
AB2+AD2=
2AG2=12
2．
在（2）中，MN2=ND2+DH2，BM=DH，
∴MN2=ND2+BM2．（9分）
设MN=a，则a2=(12
2-3
2-a)2+(3
2)2．
即a 2=（92-a） 2+（32） 2，
∴a=5
2．即MN=5
2．（10分）

Answer 3

1三角形abe和age全等，agf和adf全等，所以对应角相等，所以角EAF=eag+fag=1/2（bag+dag）=45度
2，三角形CEF用勾股定理 ce=1-x cf=1-y ef=x+y
所以 （1-x）^2+(1-y)^2=(x+y)^2
整理结果就可以了x+y+xy-1=0