Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，并延长DE至点F，使EF＝DE，

连接BF,CF,AC.
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形。
（2）若AC是∠BCD的平分线，且AD²+AC²+BC²，求证：四边形ABFC是矩形。

Answer 1

（1）连接BD
∵BC垂直平分DF ∴BD=BF，CD=CF
又ABCD为灯要底线 所以AC=BD，AB=CD
∴AC=BF，AB=CF ∴ABFC为平行四边形
（2)∵AC是∠BCD的平分线 ∴∠ACD=∠ACB
∵AD∥BC ∴∠CAD=∠ACB ∴∠ACD=∠CAD 所以△ACD为等腰三角形，AD=DC
又AD²+AC²=BC² ，AD=DC=AB ∴AB²+AC²=BC² ∴△ABC为直角三角形，∠BAC为90°
所以平行四边形ABFC是矩形

Answer 2

证明：（1）连接BD，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴AC=BD，∵BC=CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC
∵DE⊥BC，EF=DE，
∴BD=BF，∠DBC=∠FBC，
∴AC=BF，∠ACB=∠CBF
∴AC∥BF，
∴四边形ABFC是平行四边形；

（2）∵DE2=BE•CE
∴DE/BE=CE/DE
∵∠DEB=∠DEC=90°，
∴△BDE≌△DEC，
∴∠CDE=∠DBE，
∴∠BFC=∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠BDE+∠DBE=90°，
∴四边形ABFC是矩形．

Answer 3

（1）连接BD
∵BC垂直平分DF
∴BD=BF，CD=CF
又ABCD为等腰梯形
所以AC=BD，AB=CD
∴AC=BF，AB=CF
∴ABFC为平行四边形
（2)∵AC是∠BCD的平分线
∴∠ACD=∠ACB
∵AD∥BC
∴∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠CAD
所以△ACD为等腰三角形，AD=DC
又AD²+AC²=BC² ，AD=DC=AB
∴AB²+AC²=BC²
∴△ABC为直角三角形，∠BAC为90°
所以平行四边形ABFC是矩形

Answer 4

（1）连接BD
∵BC垂直平分DF ∴BD=BF，CD=CF
又ABCD为灯要底线 所以AC=BD，AB=CD
∴AC=BF，AB=CF ∴ABFC为平行四边形
（2)∵AC是∠BCD的平分线 ∴∠ACD=∠ACB
∵AD∥BC ∴∠CAD=∠ACB ∴∠ACD=∠CAD 所以△ACD为等腰三角形，AD=DC
又AD²+AC²=BC² ，AD=DC=AB ∴AB²+AC²=BC² ∴△ABC为直角三角形，∠BAC为90°
所以平行四边形ABFC是矩形