Question

求平面的坐标式参数方程和一般方程

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Answer 1

因为平面的三个变量只由一个方程联系，所以其参数方程应该由两个参数变量来描述。

1）过AB平行于CD的一般型
设方程为 Ax+By+Cz+D=0
=> 5A+B+3C+D=0
A+6B+2C+D=0
(5-4)A+(0-0)B+(4-6)C=0 => A=2C
4A-5B+C=0 => -5B=-8C-C=-9C => B=9C/5
=> D=-3C-B-5A=-3C-9C/5-10C=-74C/5
∴平面方程一般型 10x+9y+5z-74=0
参数型 x=s
y=t
z=74/5-2t-9s/5

2）过AB垂直于平面ABC的平面
一般型 Ax+By+Cz+D=0
5A+B+3C+D=0
A+6B+2C+D=0
ABC的法向量 A'=|(-5,1)(3,-1)|=2
【AB的方向向量为（5-1.1-6,3-2）;BC的方向向量为（1-5,6-0,2-4）】
【∴AB↑=(4,-5,1) 、BC↑=(-2,3,-1) 】
B'=|(1,4)(-1,-2)|=2
C'=|(4,-5)(-2,3)|=2
2A+2B+2C=0 【两平面垂直，法向量点积为零】
=>(仿上题） A=2B、B=B、C=-3B、D=-2B
=> 2x+y-3z-2=0
参数型 x=u
z=v
y=-2u+3v+2