Question

已知点P（x,y）在圆x²+y²-2x+4y+4=0运动,求3x-4y的最大值

Answer 1

方法一：
x²+y²-2x+4y+4＝0
→(x-1)²+(y+2)²＝1².
圆心为(1,-2),半径为1.
设3x-4y＝t,
则此直线与圆心距离不大于半径.
∴|3×1-4×(-2)-t|/5≤1
→-5≤11-t≤5
→6≤t≤16.
故所求最大值为：16；
所求最小值为：6.
方法二：
依题意可设x-1＝cosθ,y+2＝sinθ.
∴3x-4y
＝3(1+cosθ)-4(-2+sinθ)
＝11-5sin(θ-φ).
sin(θ-φ)＝-1时,所求最大值为：16；
sin(θ-φ)＝1时,所求最小值为：6.
方法三：
依柯西不等式得
x²+y²-2x+4y+4＝0
→1＝(x-1)²+(y+2)²
＝(3x-3)²/9+(-4y-8)²/16
≥(3x-4y-11)²/25
→-5≤3x-4y-11≤5
→6≤3x-4y≤16.
所求最大值为：16；
所求最小值为：6.
此外,还可以用构造向量法、判别式法等解结.