Question

高数第二题求解释

Answer 1

题目问的比较复杂，咱先上个简单模型哈：

假设你现在在坐标系中有一个矩形，是由x=1, x=2, y=3, y=4围成的，好想象吧。然后现在我们有一个旋转轴y=5，这个矩形绕着这个旋转轴在空间中旋转一周，形成的旋转体是个什么图形？容易想象是一个空心圆柱，外面是一个大圆柱，里面是一个小圆柱，大圆柱的半径是5-3=2，小圆柱的半径是5-4=1，那么这个空心圆柱的截面积就是4π-π=3π，高是2-1=1，体积就是3π*1=3π。

现在问题复杂了，你的图形不是矩形，而是一个不规则图形，由x=a, x=b, y=g(x), y=f(x)围成的，旋转轴也变成了y=m，题目说了g(x)<f(x)<m，那么就是说g(x)离m更远。
首先你把图形沿着x轴切成一个个的微元dx，每个微元都可以看成是一个矩形，所以每个微元绕着转轴转一圈形成的旋转体也是一个空心圆柱，整个旋转体就是这一个个空心圆柱组合而成的。考虑其中的任意一个微元，例如x=p位置的微元（a≤p<b)，那么这个矩形的四边分别是：x=p, x=p+dx, y=g(p), y=f(p)。转轴是y=m。
这个问题中的g(x)类似上问中的3，f(x)类似上问中的4，m类似上问中的5。那么空心圆柱中，大圆柱的半径是m-g(p)，小圆柱的半径是m-f(p)，空心圆柱的截面积就是π[m-g(p)]^2-π[m-f(p)]^2，用平方差公式化简就是π[2m-g(p)-f(p)][f(p)-g(p)]。空心圆柱的高是dx，微元的体积就是π[2m-g(p)-f(p)][f(p)-g(p)]dx。当然里面的p可以换成x了，现在对x积分，从a积到b，就是图形的体积，即B选项。

供参考，如有不懂欢迎追问。满意请采纳。

Answer 2

简单分析一下，答案如图所示