Question

欧拉公式是如何推导的？

Answer 1

欧拉对数学的贡献真是无穷无尽。记得有一个求圆周率π的无穷级数公式，我以前也介绍过它是怎么推导的（收敛还是相当快的），就是下面这个公式：

我从某些书上又看到另外的类似公式，比如：

大多数书只是给出这个公式(2)，但却没有给出推导过程。我今天就来给您讲一讲它是怎么得到的。并且同时也把公式(1)也一并讲了。两个公式本来就是一并求得的。

sinx的幂级数展开式为：

从而有

另外，sinx/x还可以写成无穷乘积(这里不加证明)：

到此处，我们先停顿一下。我说过，以前我们讲过上面的公式(1)，很多书上也给出了得到它的 方法，基本上就是把上面的(3)式与(4)式进行比较，可以明显看出左右两端x^2项的系数各是什么，从而两者相等，得到公式(1)。其实，不光 x^2项的系数两端相等， x^4项的系数两端也是相等的。但是，你看得出来上面(4)式中 x^4项的系数是什么吗？肯定是任意两个因数中的x^2项的乘积，然后求和，但是，它是不是很复杂？似乎根本看不出能产生像公式(2)那么简洁的形式？好的，我们继续。

把(3)式与(4)式分别取对数（仍然收敛，但收敛性就不在这里证明了，本篇内容主要关注形式和方法），得

(注意，上面(6)式中， 因为取了对数，“积”就变为“和”了。)

我们还知道，ln(1－x)的幂级数展开式为：

所以，对(5)式应用(7)式（注意，把下式中下画线部分当成一个整体代替(7)式中的x)，得

同样，对(6)式应用(7)式，得

我们比较(8)式与(9)式两端x^2的系数，它们相等，就可以得到我们以前讲过的欧拉公式(1):

这个没有什么稀奇的，但我们还可以比较两式的x^4项，这个以前很少有人涉及。具体来说，(8)式中，x^4项有两部分，如下：

(9)式中，x^4项为：

(10)式与 (11)式相等，得到

两边同时乘以“－2(π^4)”，得到

这就是前面的(2)式。

我们还可以让(8)(9)两式对应的其他同类项的系数相等，从而得到其他很多很多有关 π的无穷级数公式。仅以x^6项的系数相等为例，我们便得到

经计算，得到又一有关 π的无穷级数公式：

挖掘 π的无穷级数表示、无穷乘积表示，是一件很有趣的事情。有兴趣的数学爱好者可在我公众号历史消息中搜索“圆周率”，即可找到这方面的文章。