Question

已知集合A={x|0＜ax+1≤5}，集合B={x|- ½ ＜x≤2}．自学时，遇到的难题。

已知集合A={x|0<ax+1≤5}，集合B={x|-½<x≤2}.
（1）若A⊆B，求实数a的取值范围。
答案：当a＜0时，若A⊆B ，A={x|4/a≤x＜-1/a}
所以4/a＞-1/2（问：为什么这个时候不是 ≥ ？ ）,-1/a≤2
解得 a＜-8

（2）若B⊆A，求实数a的取值范围。
答案：当a＜0时，若B⊆A， A={x|4/a≤x＜-1/a}, B={x|-1/2＜x≤2},
所以4/a≤-1/2,-1/a＞2（问：为什么这个时候不是≥ ？）
解得 -1/2＜a＜0；

我纠结于：如何判断什么时候该舍去“等于”的关系？

Answer 1

（1）如果 4/a = -1/2 ，则 A 区间的左端点包含 -1/2 ，而 B 不包含 -1/2 ，
此时 A 就不是 B 的子集了。所以不能取等号。
（2）同理，如果 -1/a = 2 ，则 B 区间右端点包含 2 ，而 A 不包含 2 ，
此时 B 就不是 A 的子集。
对集合中端点的处理要特别小心，能不能取等号要看取了等号后满不满足条件。

追问

在第（2）问中

答案：当a＞0 时，若B⊆A，则4/a≥2，-1/a≤﹣1/2（在这时，B={x|-1/2＜x≤2} ，x是＞﹣1/2而不是≥﹣1/2，为什么下面还可以得到“-1/a≤﹣1/2”）

图是这样的，不是么？

对于集合端点的问题我总是错...

追答

a < 0 时，-1/a 是正数，4/a 是负数，你把这两个端点弄反了。

追问

可是我这个图是当a＞0时的
（很麻烦你，不好意思）

追答

哦，a>0 时，-1/a ≤ -1/2 ，2 ≤ 4/a ，两边都可以取等号。
解得 0 < a ≤ 2 。
再与 a < 0、a = 0 的情况取并集就行了。
（附：a < 0 时是 -1/2 < a < 0 ；显然 a = 0 也可以。
所以最后的结果就是： -1/2 < a ≤ 2 ）

Answer 2

第一个情况，如果是>=,意思是a可以取-1/2,但是很明显这个值不属于集合B

Answer 3

等号取舍与否，你可以单独考虑，看假设取等号时是否成立。
第一二问都是不可以取等号的，否则第一问A中能取到-1/2，但B中却取不到了，这与A⊆B相矛盾了。第二问同理。

看来你对子集的定义有点模糊。A⊆B表明A中的所以元素都必需在B中。

追问

怎么判断是否成立？取值后看是否矛盾？

在第（2）问中

答案：当a＞0 时，若B⊆A，则4/a≥2，-1/a≤﹣1/2（在这时，B={x|-1/2＜x≤2} ，x是＞﹣1/2而不是≥﹣1/2，为什么下面还可以得到“-1/a≤﹣1/2”）

这是图？（没错吧？）

追答

取等号后看是否满足条件中的子集关系：如A⊆B表明A中的所以元素都必需在B中。
当a>0时，当-1/a≤﹣1/2时，a=2，此时A=B，满足条件B⊆A，∴-1/a≤﹣1/2而不是-1/a＜﹣1/2。