Question

如何求出圆的标准方程

Answer 1

方程为（x-a)(x-c)+（y-b)(y-d)=0。

圆的标准方程（x-a)²+(y-b)²=r²中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为（a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。

几何法：

求出圆心到直线的距离d，半径为r。

d>r，则直线与圆相离。

d=r，则直线与圆相切。

d<r，则直线与圆相交。

如果在平面直角坐标系中还可以直接将直线方程与圆的方程联立得出。

若△＞0则该方程有两个根，即直线与圆有两个交点，相交。

若△＝0则该方程有一个根，即直线与圆有一个交点，相切。

若△＜0则该方程有零个根，即直线与圆有零个交点，相离。

Answer 2

椭圆的标准方程是什么？

在数学的世界中，几何学占据着举足轻重的地位。从古希腊时代的欧几里得到现代的黎曼，无数伟大的数学家为我们揭示了这个世界的形状与结构。今天我们要探讨的是一个看似简单但却充满奥秘的对象——椭圆。

                                     

• 一、引子

椭圆作为一种平面曲线，在物理学、工程学乃至天文学等领域都有着广泛的应用。生活中我们随处可见它们的身影：从汽车的大灯到飞机的机翼，再到遥远星球的运动轨迹，无处不闪耀着椭圆的光辉。 

• 二、椭圆的定义

椭圆的本质是一个关于两点（即焦点）的性质。我们可以将椭圆定义为这样一个平面曲线：对于曲线上任意一点P以及两个定点F1、F2（称为焦点），满足PF1+PF2=2a（其中a为常数）。换句话说，椭圆上的点到两焦点的距离之和恒等于定值2a。

                                     

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• 三、椭圆的标准方程
  

为了更好地描述椭圆，我们需要引入坐标系。椭圆的标准方程分为两种情况：

当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a>b>0)。

当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1 (a>b>0)。

其中，a表示椭圆长轴的半径，b表示椭圆短轴的半径，c表示焦点到椭圆中心的距离，且满足关系a^2 - c^2 = b^2。这些参数和性质在解决与椭圆相关的问题时非常重要。

                                     

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• 四、结论

至此，我们已经展示了椭圆的基本特性及其标准方程。尽管它看起来十分简洁明快，但这背后蕴含着丰富的几何意义和深刻的数理内涵。

椭圆作为一门基础而又深邃的学问，值得我们投入更多的时间和精力去研究。


                                   

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