Question

一道高中函数的数学题

对于可导的任意函数,若满足(x-1)f'(x)>=0,则必有:
A.f(0)+f(2)<2f(1)
B.f(0)+f(2)<=2f(1)
C.f(0)+f(2)>=2f(1)
D.f(0)+f(2)>2f(1)

Answer 1

当f(x)是常数函数时，f'(x)=0,满足上式，此时f(0)+f(2)=2f(1)
当不是常数函数，x>=1,f'(x)>=0;x<=1,f'(x)<=0,则x=1是最小值点
f(0)>f(1),f(2)>f(1)
f(0)+f(2)>2f(1)
所以f(0)+f(2)>=2f(1) ，选C

Answer 2

由：(x－1)f'(x)≥0，得：
当x<1时，f'(x)<0，即f(x)在x<1上是递减的；
当x>1时，f'(x)>0，即f(x)在x>1上的递增的。
从而有：f(0)>f(1)，f(2>f(1)，则：
f(0)＋f(2)>2f(1)
选【D】

Answer 3

f(1)=f(0)+f(1)=2
得f(0)=0
若y=-x
则f(0)=f(x)+f(-x)
f(x)=-f(-x)
这是一个奇函数，关于原点对称
f(1)=2>0,则x<0,f(x)<0
f(kx)+f(x—x^2—2)=f(kx+x-x²-2)<0
即kx+x-x²-2<0
,x²-(k+1)x+2>0
Δ=(k+1)²-8<0
-1-2√2<k<2√2-1

Answer 4

f(1)=f(0)+f(1)=2
得f(0)=0
若y=-x
则f(0)=f(x)+f(-x)
f(x)=-f(-x)
这是一个奇函数，关于原点对称
f(1)=2>0,则x<0,f(x)<0
f(kx)+f(x—x^2—2)=f(kx+x-x²-2)<0
即kx+x-x²-2<0
,x²-(k+1)x+2>0
Δ=(k+1)²-8<0
-1-2√2<k<2√2-1