Question

limx→0(sinx-tanx)/{[三次根号下(1+x^2)-1]*[根号下(1+sinx)-1]}？

Answer 1

lim(x→0)(sinx-tanx)/{[3√(1+x^2)-1]*[√(1+sinx)-1]}
用等价无穷小化简：(n√x+1)-1 x/n
sinx~x
1-cosx~x²/2
还要把sinx-tanx化为：sinx(cosx-1)/cosx
=lim(x→0)(sinx-tanx)/{(x²/3)(sinx/2)}
=lim【(sinx)(1-1/cosx)】/(x³/6)
=lim【sinx(cosx-1)】/【cosx(x³/6)】
=lim【x(-x²/2)】 / (x³/6)
=-3,47,令三次根号下(1+x^2)=t，则t³-1=(t-1)(t²+t+1)
分子分母同乘以(t²+t+1)*[√(1+sinx)+1]得
limx→0(sinx-tanx)/{[三次根号下(1+x²)-1]*[√(1+sinx)-1]}
=limx→0(sinx-tanx)/{[t-1]*[√(1+sinx)-1]}
=limx→...,11,