Question

等比数列的求和公式？

Answer 1

等比数列的前n项和 Sn、S2n-Sn、S3n-S2n成等比数列，公比为q^n。

证明如下：

设等比数列{an}的公比为q，

an=a1q^(n-1)

am=a1q^(m-1)

两式相除得an/am=q^(n-m),∴an=amq^(n-m)。

S2n=a1+a2+...+an+a(n+1)+a(n+2)+...+a2n=Sn+(a1q^n+a2q^n+...+anq^n)=Sn+(a1+a2+...+an)q^n=Sn+Snq^n

所以 (S2n-Sn)/Sn=q^n。

同理，S3n=S2n+[a(2n+1)+a(2n+2)+...+a3n]

=S2n[a(n+1)q^n+a(n+2)q^n+...+a2nq^n)

=S2n+[a(n+1)+a(n+2)+...+a2n]q^n

=S2n+[S2n-Sn}q^n 。

所以 (S3n-S2n)/(S2n-Sn)=q^n 。

所以 (S2n-Sn)/Sn=(S3n-S2n)/(S2n-Sn)。

即(S2n-Sn)^2=Sn(S3n-S2n) 。

扩展资料：

等比数列求和公式的性质：

①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则aman=apaq；

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列；

③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；

④ 若G是a、b的等比中项，则G2=ab（G ≠ 0）；

⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零；

⑥在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q^(k+1)；

⑦当数列{an}使各项都为正数的等比数列，数列{lgan}是lgq的等差数列 。