Question

对于σ={1+2+3+4+5+6}∈S6,求<σ>

Answer 1

首先，将置换σ表示成循环表示法。
1+2+3+4+5+6可以写成(1 2)(1 3)(1 4)(1 5)(1 6)，即将1排列到其他数字的前面，形成五个2-循环。
由于这些2-循环共享一个公共元素1，因此它们是互相对换的，且它们的任意组合也可以在它们之间交替。
因此，<σ>中的所有排列都是由这些2-循环产生的。由于这些2-循环是互相对换的，它们共同生成D6中的一个子群。
根据拉格朗日定理，这个子群的阶数是6的因数。因此，这个子群的阶数有1、2、3和6四种可能。
实际上，由于这个子群的生成元是5个2-循环，因此这个子群实际上是S5的同构子群，它的阶数是5!=120。
因此，<σ>是S6的一个共轭类，其中它的代表元是σ本身，<σ>中的所有置换共同构成一个由120个元素组成的子群。