Question

一道高一数学题，求高手解题！！！50分！！！！！

数列{an}的前n项之和是An，数列{nan}的前n项之和是Bn，且a1=1，Bn+An=na（n+1）（1）求数列{an}的通项公式（2）设Sn=1/a1+2/a2+3/a3+…+n/an，是否存在最小的正整数M，使Sn≤M对一切正整数n都成立？

Answer 1

(1),B(n+1)+A(n+1)=(n+1)a(n+2) Bn+An=na（n+1）两式相减得a(n+2)=2a(n+1) 易知a2=2a1 所以an为等比数列 an=2^(n-1)
﹙2﹚因为Sn=1/a1+2/a2+3/a3+…+n/an，½Sn=0+1/a2+2/a3+…+（n-1）/an+n／a(n+1)
两式相减得 Sn=2-(½)^(n-1)-n/2^(n-1) 所以M=2

追问

请具体......是第二问！

追答

两个式子，第一项减第一项，第二项减第二项，以此类推。得½Sn=1/a1+1/a2………+1/an-n/a(n+1) 前n项是等比。

Answer 2

B(n)＋A(n)=na(n＋1)，则：
B(n－1)＋A(n－1)=(n－1)a(n)
两式相减，得：
na(n)＋a(n)=na(n＋1)－(n－1)a(n)
na(n＋1)=2na(n) 【a1=1，a2=1】
[a(n＋1)]/[a(n)]=2=常数
则数列{an}是以a2=1为首项、以q=－2为公比的等比数列，得：
an=(2)^(n－2) 【n≥2】
a1=1

设：cn=1/[a(n)]=(1/2)^(n－1)
则：
Sn=c1＋2c2＋3c3＋…＋ncn
(1/2)Sn=c2＋2c3＋3c4＋…＋nc(n＋1)
两式相减，得：
(1/2)Sn=[c1＋c2＋c3＋…＋cn]－nc(n＋1)
=1＋[1－(1/2)^(n－1)]×(1/2)－n×(1/2)^(n－1)
得：Sn=4－(n＋2)×(1/2)^(n－1) (n≥2)
Sn－S(n－1)=n×(1/2)^(n－1)>0
即Sn是递增的，即Sn的最小值是S2=1/a1＋2/a2=3 (n≥2)
另外，S1=1/a1=1
从而存在M=3，满足要求。

追问

为什么“a2=1”，不是a2=2吗？？？

追答

B(n)＋A(n)=na(n＋1)：【这里的n是从1开始的】
B(n－1)＋A(n－1)=(n－1)a(n)：【这里的n是从2开始的】
那下面所得到的所有的式子全是从2开始的。。。

追问

既然Sn是递增的，那么Sn就不存在最大值，那么怎么得到有M使Sn≤M对一切正整数n都成立？

追答

这也是我疑惑的地方。。。所以我写好了等了很久才上传。。。。

这个题目其实就注意三点：
1、从Bn、An求出a(n＋1)与an的关系时，注意隐含条件；(n≥2)
2、求Sn时需要用到错位法求和；
3、利用Sn－S(n－1)判断Sn的单调性。

追问

n×(1/2)^(n－1)在（0，正无穷）上是递减函数，所以n×(1/2)^(n－1)最大值为1，所以加到最后Sn应该不会大于4的......

追答

这个不能这样解释的。。

Answer 3

（1）Bn+An=na（n+1） B（n-1）+A（n-1）=（n-1）+an
第一式- 第二式（比如 An-A(n-1)=an）得（a（n+1）/an）=2
所以an是以首项为1 公比为2的等比数列 an=2^(n-1)

追问

第二问呢？

追答

可以设n/an 这样的新数列 那么该数列n/an=n/2^（n-1）
Sn=1/1+2/2+3/4+4/8+……+n/2^（n-1）
2Sn=1/2+2/4+3/8+……n/2^n
两式相减
-Sn=1+1/2+1/4+……1/2^(n-1)-n/2^n
前面一部分可用等比数列求和公式求得
然后可以化成只与n相关的式子
最后就可以求出M的最小值了

Answer 4

Bn+An=na（n+1）
Bn=nAn带入的An=na
带入a1=1得a=1
An=n
A2=2=a1+a2=1+a2
a2=1
an=1
Sn=1+2+……+n
Sn≤M
即1+2+……+n≤M
显然不存在

追问

为什么“Bn=nAn”？？？数列{nan}的前n项之和是Bn指a1+2a2+3a3+……+nan
......

Answer 5

an=n

追问

请具体......
第二问呢？

追答

请看图

追问

谢谢，这才是正解啊！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！