读初二的孩子遇到的三角形难题,求高人指点
A为等腰三角形ABC顶点,AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,AD与BE交点为H,EF⊥BC,垂足为F,N为AH中点,延长AD至M,使DM=EF。连接BM,BN。...
A为等腰三角形ABC顶点,AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,AD与BE交点为H,EF⊥BC,垂足为F,N为AH中点,延长AD至M,使DM=EF。连接BM,BN。求证:∠MBN=90度。
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4个回答
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设AD=h DH=n EF=m BD=DC=a
易证△BDH∽△ADC
x/a=a/h
x=a²/h
用勾股定理可求得
AC=√(a²+h²)
用面积相等
AC*BE=BC*AD=2ah
BE=2ah/√(a²+h²)
△CBE用勾股定理可求得
CE=2a²/√(a²+h²)
△CEF∽△CAD
CE/AC=EF/AD
m/h=2a²/(a²+h²)
m=2a²h/(a²+h²)
DN=1/2(AD+DH)=1/2(h+x)=1/2(h+a²/h)=(a²+h²)/(2h)
BD/DN=a/DN=2ha/(a²+h²)
m=2a²h/(a²+h²)
DM/BD=m/a=2ah/(a²+h²)
BD/DN=DM/BD
△DBM∽△DNB
∠DBM=∠DNB
∠DBM+∠DNB=∠DBN+∠DNB=90°
∠MBN=90度
易证△BDH∽△ADC
x/a=a/h
x=a²/h
用勾股定理可求得
AC=√(a²+h²)
用面积相等
AC*BE=BC*AD=2ah
BE=2ah/√(a²+h²)
△CBE用勾股定理可求得
CE=2a²/√(a²+h²)
△CEF∽△CAD
CE/AC=EF/AD
m/h=2a²/(a²+h²)
m=2a²h/(a²+h²)
DN=1/2(AD+DH)=1/2(h+x)=1/2(h+a²/h)=(a²+h²)/(2h)
BD/DN=a/DN=2ha/(a²+h²)
m=2a²h/(a²+h²)
DM/BD=m/a=2ah/(a²+h²)
BD/DN=DM/BD
△DBM∽△DNB
∠DBM=∠DNB
∠DBM+∠DNB=∠DBN+∠DNB=90°
∠MBN=90度
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设BD=b,BA=a,AD=h
角DBH=角EAH,角EAH=角BAH,角BDH=角ADB
所以三角形ABD相似于三角形BHD
所以BD/HD=AD/BD
所以BD^2=DH*AD
HD=b^2/h
根据面积得BE=2bh/a
DN=1/2(AD+HD)=(b^2+h^2)/2h=a^2/2h
由于三角形BEF相似于三角形BCE
BE/BC=BF/BE
BE^2=BF*BC
BF=2bh^2/a^2
EF^2=BE^2-BF^2
EF=2b^2h/a^2
BD^2=b^2,DM*DN=2b^2h/a^2*a^2/2h=b^2
BD^2=DM*DN
所以三角形BDM相似于三角形NDB
所以角MBN=角MBD+角DBN=角DBN+角BND=90度
角DBH=角EAH,角EAH=角BAH,角BDH=角ADB
所以三角形ABD相似于三角形BHD
所以BD/HD=AD/BD
所以BD^2=DH*AD
HD=b^2/h
根据面积得BE=2bh/a
DN=1/2(AD+HD)=(b^2+h^2)/2h=a^2/2h
由于三角形BEF相似于三角形BCE
BE/BC=BF/BE
BE^2=BF*BC
BF=2bh^2/a^2
EF^2=BE^2-BF^2
EF=2b^2h/a^2
BD^2=b^2,DM*DN=2b^2h/a^2*a^2/2h=b^2
BD^2=DM*DN
所以三角形BDM相似于三角形NDB
所以角MBN=角MBD+角DBN=角DBN+角BND=90度
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设正三角形的变长为2 则高AD可求得为√3
由题意得H为△ABC的垂心
所以 AN:AD=1:2 所以ND=(2√3)/3
因为EF平行AD 所以△CFE相似于△CDA
CE:CA=EF:AD=1:2
所以DM=EF=0.5AD=(√3)/2
BD可求得为1
运用勾股定理 求出BN=(√21)/3 BM=(√7)/2 NM=(7√3)/6
那么 BN^2+BM^2=NM^2
所以∠MBN=90°
由题意得H为△ABC的垂心
所以 AN:AD=1:2 所以ND=(2√3)/3
因为EF平行AD 所以△CFE相似于△CDA
CE:CA=EF:AD=1:2
所以DM=EF=0.5AD=(√3)/2
BD可求得为1
运用勾股定理 求出BN=(√21)/3 BM=(√7)/2 NM=(7√3)/6
那么 BN^2+BM^2=NM^2
所以∠MBN=90°
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证明:∵DM=EF,且BD⊥AN,∴BF垂直平分⊿NBM,∴∠DBN=∠MBD,∵BE⊥AC,∴∠DBE+∠FEB=90°,∵BF垂直平分⊿NBM,∴BN=BM,且∠M+∠MBD=90°,∠BND=∠M,∴∠DBN+∠MBD=90°,∴∠MBN=90°
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