Question

在△ABC中∠C=2∠B,AD是△ABC的角平分线求证AB=AC+CD

Answer 1

证明：在AB上截取AE，使AE = AC，连DE。
∵ AD平分∠CAB
∴ ∠CAD = ∠EAD

在△CAD 和 △EAD 中
AC = AE
∠CAD = ∠EAD
AD = AD
∴△CAD ≌ △EAD （SAS）
∴ ∠AED = ∠C 且 CD = ED --------------------- ①
∵ ∠C = 2∠B
∴ ∠AED = 2 ∠B ------------------ ②

∵ ∠AED + ∠DEB = 180° （平角）
又∵（∠EDB+∠B）+ ∠DEB = 180° （三角形内角和）
∴ ∠AED = ∠EDB+∠B -------------------- ③

由②③知：2 ∠B = ∠EDB+∠B
∴ ∠B = ∠EDB
∴ ED = EB （等角对等边）----------------------- ④

由①④知：CD = EB

∴ AB = AE + EB
= AC + CD