Question

数学知识交流---解方程(3)

Answer 1

(1) 解： 法1：设方程 p³ + ap² + bp + c = 0 的三根分别是x
y和z。 根据一元三次方程根与系数的关系，有： x + y + z = -a
xy + yz + zx = b
xyz = -c 那么x² + y² + z² = (x + y + z)² - 2(xy + yz + zx) = a² - 2b
x³ + y³ + z³ = (x + y + z)³ - 3(x+y)(y+z)(z+x) = (x+y+z)³ - 3(-a-x)(-a-y)(-a-z) = (x+y+z)³ + 3a³ + 3(x+y+z)a² + 3(xy+yz+zx)a + 3xyz = -a³ + 3a³ - 3a³ + 3ab - 3c = 3ab - 3c - a³ 由原方程组，得： -a = 14 -------------------(1) a² - 2b = 74 --------------(2) 3ab - 3c - a³ = 434 --------(3) 由(1)，得： a = -14 ------------------(4) 把(4)代入(2)，得： (-14)² - 2b = 74 b = 61 -------------------(5) 把(4)和(5)代入(3)，得： 3(-14)(61) - 3c - (-14)³ = 434 c = -84 所以p³ - 14p² + 61p - 84 = 0 (p-7)(p-4)(p-3) = 0 p1 = 7
p2 = 4
p3 = 3 因为对称式，所以 a1 = 7
b1 = 4
c1 = 3 a2 = 7
b2 = 3
c2 = 4 a3 = 4
b3 = 7
c3 = 3 a4 = 4
b4 = 3
c4 = 7 a5 = 3
b5 = 7
c5 = 4 a6 = 3
b6 = 4
c6 = 7 (2) 解： 2011-06-07 18:42:34 补充： (1) x1 = 7
y1 = 4
z1 = 3 x2 = 7
y2 = 3
z2 = 4 x3 = 4
y3 = 7
z3 = 3 x4 = 4
y4 = 3
z4 = 7 x5 = 3
y5 = 7
z5 = 4 x6 = 3
y6 = 4
z6 = 7 2011-06-07 19:03:01 补充： (2) 解： ( x - 1 ) ( y - 1 ) ( z - 1 ) = 0 -----(1) ( x + y ) ( x + z ) ( y + z ) = 0 ---(2) ( x + 1 ) ( y - 1 ) z = 0 -------(3) 由(1)，得： x = 1 ----(a) 或 y = 1 ----(b) 或 z = 1 ----(c) 由(2)，得： x = -y ----(d) 或 x = -z ----(e) 或 y = -z ----(f) 由(3)，得： x = -1 -----(g) 或 y = 1 -----(h) 或 z = 0 ----(i) 2011-06-07 19:18:02 补充： 解方程组(a)
(d)
(g)，无解 解方程组(a)
(d)
(h)，无解 解方程组(a)
(d)
(i)，得x=1
y=-1
z=0 解方程组(a)
(e)
(g)，无解 解方程组(a)
(e)
(h)，得x=1
y=1
z=-1 解方程组(a)
(e)
(i)，无解 2011-06-07 19:31:15 补充： 解方程组(a)
(f)
(g)，无解 解方程组(a)
(f)
(h)，得x=1
y=1
z=-1 解方程组(a)
(f)
(i)，得x=1
y=0
z=0 2011-06-07 19:39:21 补充： (b)
(d)
(g)，x=-1
y=1
z无限解 (b)
(d)
(h)，x=-1
y=1
z无限解 (b)
(d)
(i)，x=-1
y=1
z=0 (b)
(e)
(g)，x=-1
y=1
z=1 (b)
(e)
(h)，x无限解
y=1
z无限解 (b)
(e)
(i)，x=0
y=1
z=0 2011-06-07 19:42:29 补充： (b)
(f)
(g)，x=-1
y=1
z=-1 (b)
(f)
(h)，x无限解
y=1
z=-1 (b)
(f)
(i)，无解 (c)
(d)
(g)，x=-1
y=1
z=1 (c)
(d)
(h)，x=-1
y=1
z=1 (c)
(d)
(i)，无解 2011-06-07 19:52:51 补充： (c)
(e)
(g)，x=-1
y无限解
z=1 (c)
(e)
(h)，x=-1
y=1
z=1 (c)
(e)
(i)，无解 (c)
(f)
(g)，x=-1
y=-1
z=1 (c)
(f)
(h)，无解 (c)
(f)
(i)，无解 2011-06-07 19:58:13 补充： 综上，此题有无限解也。 第一题另解： x + y + z = 14 --------(1) x² + y² + z² = 74 --(2) x^3 + y^3 + z^3 = 434--(3) (1)² - (2) ，得： xy + yz + zx = 61 --(4) (2) x (1) - (3)，得： xy^2 + xz^2 + yz^2 + yx^2 + zx^2 + zy^2 = 602 --(5) 把x = 14 - y - z分别代入(4)和(5)中，得方程组(6)和(7)，并解之，得解六组，但由于z>x>y，所以解只有一组：x = 4
y = 3
z = 7. 2011-06-07 19:58:32 补充： 请看意见。