Question

数列极限求解

Answer 1

解：

∵a(n+1)=ln[1+a(n)]

则：

a(n+1)-a(n)

=ln[1+a(n)] -a(n)

考查函数：y=ln(1+x)-x，可知：该函数是减函数，且在x=0处取得最大值y=0

因此：

a(n+1)-a(n)

=ln[1+a(n)] -a(n) <0

所以该数列递减

又∵

a(n+1) =ln[1+a(n)] ≥0

∴该数列单调递减且有下界

∴该数列收敛，令：lim(n→∞) a(n)=L，则：

L= ln(1+L)

解得：L=0

因此：

lim(n→∞) a(n)=0

所求极限：

lim [n²a(n)-2]/lnn

=lim (a(n) -2/n²)/ (lnn/n²)

分析：显然，分子分母都是趋近于零，但是除去相同的n²的因素，a(n)趋近于0，1/lnn也趋近于0，该极限必定趋近于0，不可能为常数1/3

利用不等式：(n-1)/n < lnn < n-1，即：

1/(n-1)< 1/lnn <n/(n-1) 带入到原极限，也可以分析出，原极限不可能极限为常数！

因此：原极限错！请检查原极限式子是否误写！