Question

求sin(根号下1+x)-sin(根号下x),当x趋于正无穷时的极限是多少?

Answer 1

∵lim(x->+∞)[√(1+x)-√x]=lim(x->+∞)[(1+x-x)/(√(1+x)+√x)] (有理化分子)
=lim(x->+∞)[1/(√(1+x)+√x)]
=0
∴lim(x->+∞)│sin((√(1+x)-√x)/2)│=0
∵│cos((√(1+x)+√x)/2)│≤1
又│sin(√(1+x))-sin(√x)│=│2*cos((√(1+x)+√x)/2)*sin((√(1+x)-√x)/2)│ (应用和差化积公式)
≤2│sin((√(1+x)-√x)/2)│
∴-2│sin((√(1+x)-√x)/2)│≤sin(√(1+x))-sin(√x)≤2│sin((√(1+x)-√x)/2)│
==> 0≤lim(x->+∞)[sin(√(1+x))-sin(√x)]≤0
故 lim(x->+∞)[sin(√(1+x))-sin(√x)]=0.